Wahadło proste
Wahadło proste (matematyczne) jest to wyidealizowane ciało o masie punktowej, zawieszone na cienkiej, nieważkiej, nierozciągliwej nici. Kiedy ciało wytrącimy z równowagi, to zaczyna się ono wahać w płaszczyźnie poziomej pod wpływem siły ciężkości. Jest to ruch okresowy. Znajdźmy okres \( T \) tego ruchu. Rysunek poniższy ( Rys. 1 ) przedstawia wahadło o długości \( l \) i masie \( m \), odchylone o kąt \( \theta \) od pionu.
Na masę \( m \) działa siła grawitacji \( mg \) i naprężenia nici \( N \). Siłę \( mg \) rozkładamy na składową radialną (normalną) i styczną. Składowa normalna jest równoważona przez naciąg nici \( N \). Natomiast składowa styczna przywraca równowagę układu i sprowadza masę \( m \) do położenia równowagi.
Składowa styczna siły grawitacji ma wartość
Zwróćmy uwagę, że to nie jest, w myśl podanej definicji, siła harmoniczna bo jest proporcjonalna do sinusa wychylenia ( \( \sin\theta \)), a nie do wychylenia \( \theta \). Jeżeli jednak kąt \( \theta \) jest mały (np. 5 stopni) to \( \sin\theta \) jest bardzo bliski \( \theta \) (różnica rzędu \( 0.1\% \)). Przemieszczenie x wzdłuż łuku wynosi (z miary łukowej kąta) \( x = l \, \theta \). Przyjmując zatem, że \( \sin\theta \approx\theta \) otrzymujemy
Tak więc dla małych wychyleń siła jest proporcjonalna do przemieszczenia i mamy do czynienia z ruchem harmonicznym. Równanie ( 2 ) jest analogiczne do równania Siła harmoniczna i drgania swobodne-( 1 ) przy czym \( k = mg/l \). Możemy więc skorzystać z zależności Siła harmoniczna i drgania swobodne-( 9 ) i obliczyć okres wahań
Okres wahadła prostego nie zależy od amplitudy i od masy wahadła.
Zauważmy, że pomiar okresu T może być prostą metodą wyznaczenia przyspieszenia g.
Spróbuj wykonać takie doświadczenie. Na nitce (możliwie długiej np. 1.5 m) zawieś niewielki ciężarek. Następnie wychyl wahadło o niewielki kąt (żeby było spełnione kryterium ruchu harmonicznego) i zmierz okres wahań. Żeby zmniejszyć błąd pomiaru czasu zmierz okres kilku wahań (np. 10) i potem oblicz T. Ze wzoru ( 3 ) wylicz przyspieszenie g.
Symulacja 1: Laboratorium wahadeł
Pobierz symulacjęUżyj jednego lub dwóch wahadła matematyczne i sprawdź jak okres wahadła zależy od długości nitki, jego masy i amplitudy drgań. Czas można łatwo zmierzyć za pomocą zegara cyfrowego Photogate (z fotokomórką). W programie można zmieniać tarcie i grawitację. Wykorzystaj wahadło do wyznaczenia przyspieszenia grawitacyjnego g na planecie X. Zauważ anharmoniczne zachowanie wahadła dla dużych amplitud.
